1. Úvod.

Po neúspešných pokusoch vysvetliť zákonitosti tepelného žiarenia absolutne čierneho telesa na základe klasickej fyziky, pokúsil sa o vysvetlenie M.Planck. Absolútne čierne teleso si predstavil ako sústavu harmonických oscilátorov, ale na rozdiel od svojich predchodcov vyslovil domnienku, že ich energia sa môže meniť len spojito. Jednoduchú metódu odvodenia zákona, ku ktorému dospel Planck, ukázal neskôr Einstein. Ako je dobre známe, vysvetlenie zákonov o vyžarovaní tepla a fotoelektrických javov viedlo k zrodu kvantovej mechaniky. Preto všetky také pokusy, ktoré umožňujú kvantitatívne overiť tieto javy zaujímajú dôležité miesto vo vyučovaní fyziky. Experimentálny dôkaz Stefanovho-Boltzmannovho zákona, čo je vlastne integrálny tvar Planckovho zákona emisie svetla, je veľmi ťažká úloha, preto na jeho overenie sa možno podujať len na veľmi málo miestach.

Cieľom tejto úlohy je overiť Stefanovho-Boltzmannov zákon spôsobom, ktorý možno realizovať aj v laboratóriách, vybavených jednoduchým zariadením.

Pri odvodení Planckovho zákona sa vychádza z predstavy, že absolútne čierne teleso sa skladá z atómov, ktoré sú v rovnovážnom stave so žiarením. Budeme ďalej predpokladať, že atómy môžu byť v stavoch s energiami W₁, W₂, ...,W_n, ...,W_m. Počet atómov s energiou W_n určuje Boltzmannov zákon:
 

(1)

kde:

N0 je konštanta.

Pokus dokazuje, že atóm môže samovoľne prejsť zo stavu s vyššou energiou W_m do stavu s nižšou energiou W_n, pričom:
 

	Wm-Wn = h.nmn,	kde nmn je frekvencia vyžiareného kvanta;
		h=6,6.10-34 Js je Planckova konštanta.

Od Planckovho postulátu (energia elektromagnetického poľa je distribuovaná v kvantách určených vzťahom - W=hn) sa dostaneme k Planckovmu vyžarovaciemu zákonu:
 

(2)

spôsobom, ktorý je uvedený napríklad v učebnici: A. Štrba, Všeobecná fyzika 3 - Optika, Alfa 1979.

Rozborom tohto zákona dostaneme odpoveď na všetky otázky týkajúce sa žiarenia absolútne čierneho telesa. Nás zaujíma teraz celková žiarivosť absolútne čierneho telesa E₀. Hodnota E₀ sa nájde integrovaním Planckovho zákona (2) cez všetky frekvencie
 

(3)

Po výpočítaní integrálu dostaneme:
 

(4)

a to je Stefanov-Boltzmannov zákon, podľa ktorého celková žiarivosť povrchu absolútne čierneho telesa je úmerná štvrtej mocnine jeho absolútnej teploty. Hodnota Stefanovho-Boltzmannovej konštanty s=5,67.10^-8Wm^-2.K^-4.

Ak teleso nie je absolútne čierne, potom sa rovnica (4) prejde na tvar:
 

	E0=eAs T4,	(5)
kde:
	A je emisný povrch;
	e je úplná emisná schopnosť daná vzťahom:
		(6)
kde:
	An,T je absorpčná schopnosť ;
	en,T emisná schopnosť;
	Integrál v menovateli predstavuje integrálnu emisnú schopnosť absolútne čierneho telesa.

2. Fyzikálna podstata spôsobu overenia Stefanovho-Boltzmannovho zákona.

V našom experimente sa ako emisný zdroj použije volfrámová žiarovka (0< e< 1). Energia:
 

E0 = I2R

(7)

dodávaná elektrickým zdrojom do obvodu sa spotrebúva na vedenie tepla a na vyžarovanie. V stave rovnováhy platí:
 

	E0 = I2R = P(T-T0)n  + eAs T4-QT04		(8)
kde:
		P a Q konštanty;
		n » 1;
		T0 je teplota prostredia (izbová teplota).

Ak teplota prevyšuje 1000^oK, je T⁴ >> T₀⁴ a rovnica (8) sa zjednoduší na tvar:
 

I2R = P(T-T0)n + eAsT4

(9)

Pri dostatočne nízkych teplotách (T < 500 K) sú straty tepla žiarením (vo vzťahu 8) zanedbateľné oproti stratám tepla vedením, teda člen eAsT⁴-QT₀⁴ je zanedbateľný oproti P(T-T₀)ⁿ. Straty tepla vedením možno teda počítať zo vzťahu:
 

I2R = P(T-T0)n

(10)

Pri zobrazení rovnice (9) v log-log sústave dostaneme nasledujúce výsledky:
 

a.	dá sa dokázať, že pri nízkej teplote (po T ~ 500oK) sú rozhodujúcou formou straty tepla vedením (koeficient úmernosti ~ 1).
b.	straty tepla vedením extrapolované k vyšším teplotám odčítané od úplného výkonu nám dávajú smerový tangens ~  4, čo znamená potvrdenie Stefanovho-Boltzmannovho zákona.

Kritickým bodom experimentu je určenie teploty vlákna žiarovky. Odpor kovov v závislosti od teploty je určený ako:
 

	R = R0[1+a(T-T0)],	(11)
kde:
	R0  je odpor pri izbovej teplote T0,	2
	a teplotný súčiniteľ elektrického odporu, pre volfram je a = 0,0053

Keď R₀ poznáme, potom teplota sa určí ako:
 

(12)

Na určenie odporu R₀ žiarovky možno použiť dva spôsoby. Pri prvom sa pomocou Wheatsonovho mostíka určí priamo odpor, pri druhom sa určuje volt - ampérová charakteristika žiarovky.

Oba spôsoby majú aj výhody aj nevýhody. Pri dobrom odporovom mostíku sa v prvom prípade dá odpor merať s presnosťou na tisíciny ohmu; nevýhodou je, že cez meraný odpor musí prechádzať určitý prúd I a určenie R₀/R=f(I) pri extrapolovaní k I=0 nie je presné. U druhého spôsobu je menšia presnosť určenia odporu, ale sa dá aj pri veľmi malých prúdoch cez rezistor presne určiť hodnota R₀. Je to umožnené tým, že funkcia R=f(I²R) približne pri izbovej teplote t.j. pri veľmi malom výkone je lineárna. (Odpor vlákna je približne 1/12 odporu pripadajúceho na maximálny výkon).

3. Experimentálne prevedenie a výsledky.

K experimentu sú k dispozícii dve volfrámové žiarovky rozdielneho výkonu ako zdroje žiarenia. K určeniu hodnoty ich odporu R₀ pri izbovej teplote sa použije druhý spôsob, t.j. bude sa snímať veľkosť prúdu cez žiarovku v závislosti od napätia. Odpor R₀ sa určí zo smernice priamky preloženej nameranými bodmi U=f(I). Pri známej izbovej teplote T₀ sme potom pomocou vzťahu (12) schopní vypočítať teplotu vlákna žiarovky pre každý bod volt-ampérovej charakteristiky.

Pri meraní V-A charakteristiky na určenie odporu R₀ je nutné pracovať v oblasti veľmi malých napätí a prúdov, aby sa zaručil minimálny ohrev vlákna (podľa typu aparatúry použijeme buď prúdový zdroj alebo reostat na na jemnú reguláciu a obmedzenie skokového nárastu prúdu pri prepínaní rozsahov napájacieho zdroja). Výkon žiarovky pri týchto hodnotách je o niekoľko rádov menší ako je nominálna hodnota. Napätie je vhodné merať elektrónkovým voltmetrom, ktorý má veľmi vysoký vnútorný odpor.

Po určení odporu R₀ a zadaní izbovej teploty T₀ pokračujeme v meraní volt-ampérovéj charakteristiky žiarovky v celom pracovnom rozsahu napätí a prúdov (až po nominálnu hodnotu napätia, uvedenú na žiarovke - samozrejme už bez ochranného reostatu).

Aby sa mohla uvážiť strata vedením tepla najprv sa znázorní úplný výkon do grafu v závislosti od T-T₀, teda musíme určiť konštanty P a n vo vzťahu (10) s pomocou zlogaritmovaného vzťahu (10):
 

ln(I2R) = ln P+ n*ln (T-T0)n

(13)

Koeficient n teda dostaneme ako smernicu k₁ preloženej priamky y = k₁x + q₁ a konštantu P vypočítame z q₁=lnP.

Teraz sme už schopní určiť energiu žiarenia. Straty tepla vedením extrapolované k vyšším teplotám ((Tł 500K) odčítame od úplného výkonu a dostaneme straty výkonu pri emisii:
 
 
 

Pe= I2R - P(T-T0)n = eAsT4,

(14)

ktoré treba zobraziť do grafu závislosti od T. Po zobrazení závislosti strát tepla žiarením od teploty T (13) v log-log sústave smernica preloženej priamky určuje hľadaný exponent.
 

V súvislosti s vyhodnotením musíme upozorniť na:

• Určité ťažkosti sa môžu vyskytnúť pri určení bodu, v ktorom sa oddeľujú od seba krivá a rovná časť grafu t.j. problém od ktorej teplote (T-T₀) začínajú byť podstatné straty žiarením. Zo skúsenosti vieme, že pri dostatočnom počte meraní pri (T-T₀)~200-700^oC sa dajú dobre oddeliť obe časti grafu, nakoľko straty tepla pri nízkej teplote (T-T₀<=300K) sú úmerné prvej mocnine rozdielu teplôt. V prípade nami používaných volfrámových žiaroviek straty tepla vedením možno optimálne extrapolovať smernicou m» 0,97, čo zaručuje dobré východisko pre reálny koncový výsledok.

• Pri vyšších teplotách (T>=1000K), kde má žiarenie rozhodujúcu úlohu, nemožno celkom zanedbať straty tepla vedením. Na ilustráciu sú v tabuľke 1. zahrnuté straty vedením tepla (i) v percentách vzťahujúce sa na úplný výkon pre rôzne teploty. Pri zanedbaní strát vedením tepla značne klesne strmosť krivky emisných strát, v prípade 220 V žiarovky o 30%.

Uvedené skutočnosti môžu pomôcť objasniť prípadné odchýlky hľadaného exponentu m od želanej hodnoty 4. Nakoľko sme od celkového výkonu najprv podľa vzťahu (14) odpočítali straty tepla vedením a na vyhodnocovanie závislosti emisného výkonu od teploty používame údaje s vysokými teplotami (1500K < T < 2500K) možno pri najvyššich teplotách (podľa tabuľky 1 v okolí T~ 2500K) obdržať exponent m<4. Ako optimálna oblasť údajov pre m~4 nemusí byť teda oblasť údajov s maximálnymi teplotami. Ak teda výsledkom Vášho merania bude napríklad smernica m~3,86 môžete to pokladať ako dodatočný dôkaz platnosti Stefanovho-Boltzmannovho zákona, teda potvrdenie, že emisné straty sú úmerné štvrtej mocnine teploty.

Pracovné úlohy:

1. Odmerajte závislosť prúdu cez žiarovku od napätia zo zdroja. Vyhodnotenie vykonajte podľa programu z počítača.

[Návrat]