Chyby merania

U3	Neistota nameranej hodnoty (chyby merania)

Pri meraniach rádioaktívneho rozpadu (charakterizovaného rozpadovou konštantou l alebo polčasom rozpadu T_1/2=ln2/l ) sa vyskytujú štatistické chyby. (Na základe predpisu MSA 0104-97 sa namiesto pojmu "chyba" zaviedol výraz "neistota".):

Neistoty, ktoré vznikajú pri meraní (pri pozorovaní a odčítavaní t.j. predovšetkým pri procese interakcie žiarenia (častice alebo kvanta) s médiom detektora. V predošlom texte (F) bol uvedený následok štatistického javu transformácie energie častice na amplitúdu impulzu v detektore, poprípade aj príspevku šumov (F) elektroniky, v dôsledku ktorého nemá energetické spektrum čiarový charakter ale tvar píkov v tvare Gaussovho rozdelenia). Neistoty tohto typu nie sú systematické, t.j. nezväčšujú alebo nezmenšujú pravidelne merané veličiny.

Štatistické neistoty rádioaktívneho rozpadu ako principiálne náhodné javy, popisované kvantovou mechanikou, v ktorých možno vypočítať pravdepodobnosť počtu rozpadov P(n) ako funkciu rozpadovej konštanty l a doby merania t.

Pre veľký celkový počet aktívnych atómov n a malú pravdepodobnosť rozpadu (lt<<1) možno použiť na charakterizovanie rozdelenia pravdepodobnosti počtu rozpadov tzv. Poissonovo rozdelenie (Fobr. 3-3 ):

	P(n)=(m^-n.e^-^m)/(n!)

v ktorom:	m=lt udáva stredný počet rozpadov za dobu t
	s =(m )^-1/2je stredná kvadratická odchýlka

Pre prípad väčších hodnôt m(m >10 až 15) možno aproximovať Poissonovo rozdelenie Gaussovým rozdelením (Fobr. 3-7 ) , ktoré charakterizuje rozdelenie náhodnej premennej n v okolí strednej hodnoty m, kde má Gaussova funkcia maximum:

P(n )=1/(2ps^-2)^0.5.exp(-(n-m)²/2s^-2)

Presnosť výsledku – vplyv predĺženia merania

Pri uvádzaní výsledku na charakterizovanie spoľahlivosti tohto výsledku uvádzame aj neistotu s. Napríklad pre počet výskytov meranej udalosti N±s_N , pripadajúcich na dobu merania t alebo počet udalostí za jednotkový interval - početnosť n= N/t±s_n je stredná kvadratická odchýlka:

s_N=(N)^1/2, resp. s_n=s_N/t=(N)^1/2/t . V praxi sa často nezaujímame o absolútnu, ale o relatívnu (percentuálnu) neistotu výsledku danú pomerom: s/m =1/(m)^1/2. Napríklad ak chceme zaregistrovať počet udalostí (impulzov) N s presnosťou okolo 1% je nutné predĺžiť trvanie merania (alebo použiť koncentrovanejšiu vzorku) tak, aby počet udalostí N~10000. Potom je s/m=[(N)^1/2]/N =0,01 t.j. 1%.

Opakované merania

Často sa tiež vykonávajú opakované merania tej istej vzorky. Predpokladajme, pre jednoduchosť, že vzorka bola meraná viackrát (m - krát) na tom istom zariadení, v tých istých podmienkach a vždy sa registrovali impulzy za tú istú dobu merania. (Na takýto spôsob merania a charakterizovania neistôt merania ste boli zvyknutí z doterajších praktík.) Potom pre odhad strednej hodnoty

N_m =(N₁+N₂+N₃+….N_m)/m

a pre neistotu (strednú kvadratickú odchýlku) tohto odhadu strednej hodnoty platí s=(N_m /m)^1/2. (Takto zadefinovaná neistota s je limitným prípadom, pre prípad nekonečného m. Pre bežnú prax (s konečným, väčšinou menším počtom členov m výberového súboru) sa používa odhad neistoty strednej hodnoty

s=[N_m/(m-1)]^1/2.)

Presnosť merania možno teda zlepšiť jednak predĺžením trvania merania, alebo vykonaním viacnásobného počtu meraní.

Príklad na objasnenie pojmov

Experimentálne si uvedený poznatok môžete overiť v praktiku. Ale teraz pre kontrolu ako zdroj údajov použijeme namerané hodnoty z tabuľky na obr. 3-8 (F) odmerané v úlohe 3 - Overenie štatistiky registrácie. Ako zdroj údajov pre príklad použijeme 10 hodnôt z prvého stĺpca N_i(doplnené o neistoty s_ijednotlivých meraní):

N_i[s^-1]
39

44

38

49

56

51

34

28

45

33

s_i[s^-1]
6.24

6.63

6.16

7.00

7.48

7.14

5.83

5.29

6.71

5.74

Tieto počty udalostí N_i, v tomto prípade pri trvaní merania t_i=1s, predstavujú početnosti n_i=N_i/t_i±s_I, ktorých neistoty s_i sú rovnaké ako neistoty jednotlivých meraní:

N_i±(N_i)^1/2

V prípade, že by sme iným počítadlomzaregistrovali za dobu t₁₀=St_i=10s počet udalostí:

N₁₀=SN_i=(36+44+38+49+56+51+34+28+45+33)=N₁₀±(N₁₀)^1/2=417±20,4

Teda toto jednotlivé sumárne (10 sekundové) meranie počtu udalostí N₁₀=SN_ije charakterizované neistotou s₁₀=(N₁₀)^1/2=20,4. V prípade ak chceme na základe tohto údaja určiť početnosť bude odhad strednej hodnoty početností:

n₁₀=N₁₀/t₁₀±(N₁₀/t₁₀²)^1/2=N₁₀/t₁₀±(N₁₀)^1/2/t₁₀=41,7±2,04 s^-1

určený s neistotou s₁₀=(N/t²)^1/2=(N)^1/2/t=20,42/10=2,04 s^-1. Teda neistota tohto merania bude menšia ako neistota s_i jednotlivého merania N_i, vykonaného za dobu 1s v bode 1.

Ak pokladáme m=10 hodnôt z tabuľky za opakované merania N_i tej istej vzorky, potom možno odhadnúť strednú hodnotu (v danom prípade 1s trvania merania ide o strednú početnosť):

n_m=(SN_i/m)±s_m=(SN_i/m)± [(SN_I)^1/2/(m-1)=41,7±2,15 s^-1

s odhadom neistoty s_m={SN_i/[m(m-1)]}^1/2=2,15s^-1. Teda presnosť určenia strednej početnosti je prakticky rovnaká ako s pomocou dlhšieho merania v prípade 2.

Pre porovnanie: histogram Gaussovho rozdelenia na obr. 3-8 (F) má stred piku (vlastne strednú hodnotu početnosti) n₀=42,5± 6,5 s^-1. Túto hodnotu n₀, získanú na základe m=300 údajov, môžeme pre naše porovnávanie pokladať za hodnotu najspoľahlivejšie vystihujúcu strednú hodnotu početnosti. (Uvedená hodnota s=6,5s^-1 však necharakterizuje neistotu určenia strednej početnosti n₀ na základe 300 údajov, ale charakterizuje neistotu jednotlivého opakovaného merania N_i.)

Uzávery plynúce z uvedeného príkladu:

Štatistika nám teda hovorí len s akou pravdepodobnosťou je daný typ voľby spoľahlivosti správny:

na základe odseku 2 vidno, že toto meranie je presnejšie ako v tabuľke z bodu 1, lebo neistota odhadu početnosti na základe dlhšieho merania s₁₀=(N/t²)^1/2=(N)^1/2/t=2,04 s^-1 je menšia ako neistoty jednotlivých meraní (napr. s₅=7,48s^-1pri N₅ v tabuľke);

na základe odseku 3 vidno, že neistota odhadu pri opakovanom meraní s_m={SN_i/[m(m-1)]}^1/2=2,15 s^-1 je obdobná ako v odseku 2 a teda menšia ako ako neistoty jednotlivých meraní (napr. s₅=7,48s^-1pri N₅ v tabuľke);

na základe s daného Gaussovho rozdelenia z odseku 4 môžeme tvrdiť, že odhad:

na úrovni štandardnej odchýlkys (v intervale <T₀-s , T₀+s>) je správny v 68,3% prípadov. (To, že v malom súbore hodnôt z odseku 1 až štyri hodnoty (N₅=56, N₆=51,N₈=28, N₁₀=33, t.j. 40% údajov) sú mimo a jedna hodnota (N₄=49) na hranici intervalu <36, 49> odhadu na úrovni štandardnej odchýlky len demonštruje, že ide o aplikovanie štatistiky na súbor s malým počtom údajov.);
na úrovni 2 štandardných odchylieks (v intervale <T₀-2s , T₀+2s >) je správny v 95% prípadov ;
na úrovni 3 štandardných odchyliek s (v intervale <T₀-3s , T₀+3s>)je správny v 99,75% prípadov ;

Záleží teda na našom rozhodnutí na akej úrovni odhadu výsledky uvádzame, resp. od toho koľko nás bude stáť mylný odhad alebo jeho dôsledky.

Vplyv pozadia

Pri meraní rádioaktívneho žiarenia, kde pozadie N_p je relatívne veľké sa odlišuje počet zaregistrovaných udalostí N_v (impulzov) od počtu impulzov od vzorky:

N= (N_v-N_p) ± (N_v+N_p)^1/2,

resp. po prepočítaní na jednotku času (s) je odhad početnosti impulzov

n=N/t± (n/t)^1/2= (N_v/t-N_p/t)± (n_v/t +n_p/t)^1/2=(N_v/t-N_p/t)± (N_v/t²+N_p/t²)^1/2.

Aké poučenie pre praktikum plynie teda z vyššie uvedeného? Pri nezamyslení sa nad problémom sa nám môže stať, že vykonáme meranie vzorky a pozadia „rýchlo“ za rovnaký interval s menšou presnosťou, tak ako ilustruje nasledujúci ilustračný príklad 2.

Ilustračný príklad 1

Pri odmeraní počtu impulzov N=1000 za interval t=100s je odhad strednej hodnoty početnosti (tohto jediného merania s príslušnou neistotou odhadu):

n=N/t±(n/t)^1/2=(N/t± (N/t²)^1/2=1000/100±(1000/100²)^1/2~10± 0,3s^-1.

Teda presnosť výsledku charakterizuje relatívna neistota 3%.

Ilustračný príklad 2

Pri odmeraní počtu impulzov od vzorky N_v=1000 za interval t=100s odmeraný za prítomnosti pozadia (N_p=100 za interval t=10000s) je odhad strednej hodnoty početnosti od vzorky

n=N/t± (n/t)^1/2=(N_v/t-N_p/t)± (N_v/t²+N_p/t²)^1/2=
(1000/100-100/10000)± (1000/10000+100/10⁸)=
(10-0,01) )± (1000/10⁴+100/10⁸)=9,99± (0,1+10^-6)s^-1.

Vďaka predĺženému trvaniu merania pozadia už pozadie prakticky nevplýva na presnosť výsledku. (Presnosť výsledku charakterizuje relatívna neistota 1%. Pri použití rovnakého trvania merania pre pozadie a vzorku t=100s by bol výsledok n=9,99±1,1s^-1- teda oveľa menej dôveryhodnejší. Presnosť tohto výsledku charakterizuje relatívna neistota 11%.)

Ilustračný príklad 3

Pri viacnásobnom odmeraní tej istej početnosti impulzov za interval t=1s sme získali hodnoty n₁=620, n₂=627, n₃=622. Potom výsledný odhad strednej hodnoty početnosti (za interval t=1s) je

n=(620+627+622)/3±((620+627+622)/3)^1/2=623±14,4s^-1.

Teda presnosť výsledku charakterizuje relatívna neistota 2,3%.

[Návrat]